A. THÔNG BÁO NGHIỆM THU CẤP CƠ SỞ ĐỀ TÀI KH&CN CẤP BỘ
Tên đề tài: Nghiệm yếu của một số lớp phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử p-Laplace thứ và toán tử Bessel
Mã số: B2020-TNA-06
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Văn Thìn
Đơn vị chủ trì: Đại học Thái Nguyên
Quyết định thành lập Hội đồng: Số 2000/QĐ-ĐHTN ngày 10/11/2021 của Giám đốc Đại học Thái Nguyên.
Thời gian: 8h00, ngày 19 tháng 11 năm 2021.
Địa điểm: Phòng 104, nhà A4, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
Trân trọng kính mời các thầy cô giáo, nhà khoa học, nhà quản lý, nghiên cứu sinh, học viên thạc sĩ, sinh viên và người quan tâm đến dự.
B. THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Nghiệm yếu của một số lớp phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử p-Laplace thứ và toán tử Bessel
- Mã số: B2020-TNA-06
- Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Văn Thìn
- Tổ chức chủ trì: Đại học Thái Nguyên
- Thời gian thực hiện: 24 tháng
2. Mục tiêu:
Nghiên cứu nghiệm yếu cho một số lớp phương trình và hệ phương trình chứa toán tử p-Laplace thứ, toán tử Bessel. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau đây:
- Bất đẳng thức kỳ dị Trudinger-Moser và ứng dụng;
- Bài toán Kirchhoff suy biến chứa toán tử p-Laplace thứ với thế vị triệt tiêu tại vô hạn;
- Bài toán Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace thứ với số mũ tới hạn;
- Bài toán hai pha chứa toán tử -Laplace thứ và đại lượng phi tuyến Trudinger-Moser;
- Hệ phương trình chứa toán tử p-Laplace thứ, toán tử Bessel.
3. Tính mới và sáng tạo:
Sử dụng lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm trong không gian Banach như Định lý vượt núi, Định lý Fountain, tiêu chuẩn compact tập trung cho trường hợp thiếu tính compact của phép nhúng trong không gian Sobolev thứ, Lý thuyết phạm trù Ljusternik-Schnirelmann, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của các phương trình kiểu Schrodinger, Kirchhoff-Schr\"odinger, hệ phương trình chứa toán tử p-Laplace phân thứ và toán tử Bessel. Các bài toán của chúng tôi đều được nghiên cứu lần đầu tiên trong hướng nghiên cứu này. Điều đó phản ánh tính mới của đề tài.
4. Kết quả nghiên cứu
- Thu được 01 kết quả về bất đẳng thức Trudinger-Moser với kỳ dị và ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình Schr\"odinger chứa toán tử p-Laplace thứ với kỳ dị: trong đó là toán tử N/s-Laplace phân thứ với nhân kỳ dị.
- Thu được một số kết quả về phép nhúng liên tục, compact trong không gian Sobolev thứ có trọng. Ứng dụng các kết quả này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán kiểu Kirchhof-Schrodinger suy biến với thế vị triệt tiêu tại vô hạn và số mũ tới hạn Sobolev thứ trong đó là một tham số thực, là một toán tử tích phân không địa phương.
- Tiếp theo chúng tôi thu được hai kết quả cho bài toán tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Kirchhoff chứa toán tử - Laplacian thứ với số mũ tới hạn Sobolev-Hardy như sau: trong đó các tham số dương và là số mũ tới hạn Sobolev-Hardy thứ, là một tập con mở bị chặn của với biên trơn và là các hàm liên tục thuộc vào lớp các hàm Kirchhoff liên tục Toán tử với được gọi là r-Laplace phân thứ.
- Thu được một kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của hệ phương trình chứa toán tử p-Laplace phân thứ trong đó có độ tăng mũ.
- Thu được một kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của hệ phương trình chứa toán tử Bessel trong đóhàm phi tuyến H và thế vị V thỏa mãn một số điều kiện thích hợp.
- Thu được một kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu và vấn đề tập trung cho phương trình Schrodinger chứa toán tử -Laplace thứ như sau: trong đó là tham số dương đủ nhỏ hàm thế vị V bị chặn dưới bởi hàm phi tuyến f có độ tăng mũ.
5. Sản phẩm
5.1. Sản phẩm khoa học (Các công trình khoa học sẽ được công bố: sách, bài báo khoa học...): 05 bài báo SCIE, trong đó có 03 bài thuộc lớp Q1, 02 bài báo thuộc lớp Q2.
(1) N. V. Thin. (2020), ``Singular Trudinger-Moser inequality and fractional p-Laplace equations in (Bất đẳng thức kỳ dị Trudinger-Moser và phương trình p-Laplace phân thứ trên ", Nonlinear Analysis 196, Article number 111756, SCI, Q1.
(2) N. V. Thin., M. Xiang., B. Zhang. (2021), ``On critical Schrodinger-Kirchhoff-Type problems involving the fractional p-Laplacian with potential vanishing at infinity (Bài toán tới hạn kiểu Schrodinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace thứ và thế vị triệt tiêu tại vô hạn)'', Mediterranean Journal of Mathematics 18(1), Article number 1, SCIE, Q1.
(3) N. V. Thin. (2021), ``Existence of solution to singular Schrodinger systems involving the fractional p-Laplacian with Trudinger-Moser nonlinearity in (Sự tồn tại nghiệm cho hệ phương trình kỳ dị Schrodinger chứa toán tử p-Laplace thứ với đại lượng phi tuyến Trudinger-Moser)", Math Meth Appl Sci 44(8), pp. 6540-6570, SCIE, Q2, Impact factor:1.626.
(4) W. Chen., N. V. Thin. (2021), ``Existence of Solutions to Kirchhoff type equations involving nonlocal fractional Laplacian with critical Sobolev-Hardy exponent (Sự tồn tại nghiệm cho bài toán kiểu Kirchhoff chứa toán tử không địa phương Laplace thứ với số mũ tới hạn Sobolev-Hardy)'', Complex Variables and Elliptic Equations, Doi: 10.1080/17476933.2021.1913129, SCIE, Q2.
(5) N. V. Thin. (2022), ``Multiplicity and concentration of solutions to a fractional -Laplace problem with exponential growth (Vấn đề nhiều và tập trung cho nghiệm của bài toán -Laplace thứ)'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 506(2), Article number 125667, SCI, Q1.
5.2. Sản phẩm đào tạo: 02 luận văn thạc sĩ đã bảo vệ thành công.
+ Nguyễn Thị Bình (2020), Nghiệm yếu của hệ phương trình p-Laplace phân thứ trên miền bị chặn với số mũ tới hạn, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
+ Nithsavad VONGSY (2020), Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrödinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ trên Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu
6.1. Địa chỉ ứng dụng
Các trường Đại học.
6.2. Tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu
6.2.1. Đối với lĩnh vực giáo dục và đào tạo
Kết quả nghiên cứu của đề tài là tài liệu chuyên khảo cho sinh viên, học viên cao học, Nghiên cứu sinh chuyên ngành toán giải tích quan tâm đến phương trình đạo hàm riêng thứ. Đặc biệt bồi dưỡng khả năng nghiên cứu của các giảng viên trẻ, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả đào tạo và nghiên cứu khoa học của Trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên.
6.2.2. Đối với lĩnh vực khoa học và công nghệ có liên quan
Phương trình đạo hàm riêng thứ có nhiều ứng dụng trong toán tài chính, mô hình sinh học, vật lý lượng tử,…. Do đó các kết quả theo hướng nghiên này góp phần thúc đẩy các lĩnh vực nghiên cứu liên quan.
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information
Project title: Weak solution of a Dirichlet problem involving fractional Laplace
Code number: B2020-TNA-06
Coordinator: Dr. Nguyen Van Thin
Implementing institution: Thai Nguyen University
Duration: from 1/2020 to 12/2021
2. Objective(s)
Study the existence of weak solution for some classes of equations and systems of equations containing the fractional p-Laplace operator, the Bessel operator. Specifically, we study the following problems:
- The singular Trudinger-Moser inequality and some applications.
- The degenerate Kirchhoff problem involving the fractional p-Laplace operator with potential vanishing at infinity;
- The Kirchhoff problem involving the fractional p-Laplacian with critical exponent
- The two-phase problem contains the fractional (p,p_1)-Laplace operator and the Trudinger-Moser nonlinearity;
- The system of equations contains the fractional p-Laplace, the Bessel operator.
3. Creativeness and innovativeness
Using critical point theory of functional in Banach space such as Mountain pass theorem, Fountain theorem, concentration compact principle, Ljusternik-Schnirelmann category theory, we prove the existence of weak solutions to the equations of Schrodinger type, Kirchhoff-Schrodinger, system of equations containing fractional p-Laplace operator and Bessel operator. All of our problems are studied for the first time in this research direction.
4. Research results
- We obtain one result about singular Trudinger-Moser inequality and apply it to study the existence of weak solution to Schr\odinger equation involving the fractional p-Laplace operator as follows: where is the fractional N/s-Laplacian with singular kernel.
- We obtain some results about continuous embedding, compact embedding from fractional Sobolev space into weighted Lebesgue. Apply that results, we study the degenerate Kirchhoff-Schrodinger problem with potential vanishing at infinitey and critical exponent: where is a positive parameter, is the fractional p-Laplacian with singular kernel.
- We obtain two results about the existence of weak solution to the Kirchhoff problem involving the fractional -Laplacian and critical Sobolev-Hardy exponent as follows: where are positive parameters and is the fractional critical exponent Sobolev-Hardy, is open bounded set with smoonth boundary, is continuous function in the class of Kirchhoff function The operators which is called the fractional r-Laplacian.
- We obtain one result about existence of weak solution to system equation involving fractional p-Laplace operator where has growth exponential.
- We obtain one result about existence of weak solution to the system involving the Bessel operator where and the nonlinearity H and the potential function V satisfy some suitable conditions.
- We obtain one result about multiplicity and concentration of solutions to a fractional (p,p_1)-Laplace problem with exponential growth: where is positive small parameter, the potential function V$is bounded below by the nonlinear function f$has exponential growth.
5. Products
5.1. Scientific products published: 05 SCIE paper (03 paper belongs the class Q1, 02 papers belongs to the class Q2):
(1) N. V. Thin. (2020), ``Singular Trudinger-Moser inequality and fractional p-Laplace equations in '', Nonlinear Analysis 196, Article number 111756, SCI, Q1.
(2) N. V. Thin., M. Xiang., B. Zhang. (2021), ``On critical Schrodinger-Kirchhoff-Type problems involving the fractional p-Laplacian with potential vanishing at infinity'', Mediterranean Journal of Mathematics 18(1), Article number 1, SCIE, Q1.
(3) N. V. Thin. (2021), ``Existence of solution to singular Schrodinger systems involving the fractional p-Laplacian with Trudinger-Moser nonlinearity in '', Math Meth Appl Sci 44(8), pp. 6540-6570, SCIE, Q2, Impact factor:1.626.
(4) W. Chen., N. V. Thin. (2021), ``Existence of Solutions to Kirchhoff type equations involving nonlocal - fractional Laplacian with critical Sobolev-Hardy exponent'', Complex Variables and Elliptic Equations, Doi: 10.1080/17476933.2021.1913129, SCIE, Q2.
\noindent (5) N. V. Thin. (2022), ``Multiplicity and concentration of solutions to a fractional (p,p_1)-Laplace problem with exponential growth'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 506(2), Article number 125667, SCI, Q1.
5.2. Training products: 02 master theses successfully defended:
+ Nguyễn Thị Bình (2020), Weak solution of fractional p-Laplace system on bounded domain with critical exponent, Thai Nguyen University of Education.
+ Nithsavad VONGSY (2020), Weak solution of Schrodinger–Kirchhoff type equation involving the fractional p-Laplacian on , Thai Nguyen University of Education.
5.3. Application products
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results
6.1. Application institutions
The universities
6.2. Impacts and benefits of research results
6.2.1. For education and training fields
The research results of the project are monographs for students, graduate students, PhD students in analysis mathematics which are interested in fractioanl partial differential equations. Specially fostering research capabilities of young lecturers, contributing to improving the quality and efficiency of training and scientific research of Thai Nguyen University of Education.
6.2.2. For related science and technology fields
Fractional partial differential equations have many applications in financial math, biological modeling, quantum physics, .... The results in this direction that contribute to promoting related research areas.